Cvičný test 2

Označme $x_1, x_2, x_3$ množství (v ml) roztoků o $10\%$, $30\%$ a $50\%$.

$$\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= 100 \quad \text{(celkový objem)} \\ 0{,}1x_1 + 0{,}3x_2 + 0{,}5x_3 &= 26 \quad \text{(množství kyseliny)} \\ x_3 &= \frac{x_1}{2} \quad \text{(podmínka na poměr)} \end{aligned}$$

Třetí rovnici přepíšeme: $x_1 - 2x_3 = 0$. Druhou vynásobíme 10:

$$\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= 100 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 &= 260 \\ x_1 + 0x_2 - 2x_3 &= 0 \end{aligned}$$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 1 & 3 & 5 & 260 \\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right)$$

$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$, $R_3 \leftarrow R_3 - R_1$:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 2 & 4 & 160 \\ 0 & -1 & -3 & -100 \end{array}\right)$$

$R_3 \leftarrow 2R_3 + R_2$:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 2 & 4 & 160 \\ 0 & 0 & -2 & -40 \end{array}\right)$$

$-2x_3 = -40 \Rightarrow x_3 = 20$

$2x_2 + 80 = 160 \Rightarrow x_2 = 40$

$x_1 + 40 + 20 = 100 \Rightarrow x_1 = 40$

Smícháme 40 ml roztoku o $10\%$, 40 ml roztoku o $30\%$ a 20 ml roztoku o $50\%$.

Ověření: $0{,}1 \cdot 40 + 0{,}3 \cdot 40 + 0{,}5 \cdot 20 = 4 + 12 + 10 = 26$ ml kyseliny v $100$ ml, tj. $26\%$.

Zapíšeme vektory jako sloupce matice a převedeme na stupňovitý tvar:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$$

$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$, $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$, $R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & -7 & 7 \end{pmatrix}$$

$R_3 \leftarrow 3R_3 + 2R_2$, $R_4 \leftarrow 3R_4 - 7R_2$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Hodnost matice je 2, ale máme 3 vektory. Vektory jsou lineárně závislé.

Řešíme $\alpha_1 \vec{u}_1 + \alpha_2 \vec{u}_2 + \alpha_3 \vec{u}_3 = \vec{o}$. Z matice:

$-3\alpha_2 + 3\alpha_3 = 0 \Rightarrow \alpha_2 = \alpha_3$

$\alpha_1 + 2\alpha_2 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = -2\alpha_2$

Zvolme $\alpha_3 = 1$, pak $\alpha_2 = 1$, $\alpha_1 = -2$:

$$-2\vec{u}_1 + \vec{u}_2 + \vec{u}_3 = \vec{o}$$

Tedy:

$$\vec{u}_3 = 2\vec{u}_1 - \vec{u}_2$$

Vektory jsou lineárně závislé. Platí $\vec{u}_3 = 2\vec{u}_1 - \vec{u}_2$.

Ověření: $2(1,2,-1,3)^T - (2,1,0,-1)^T = (0, 3, -2, 7)^T = \vec{u}_3$.

První sloupec obsahuje nulu na pozici $(4,1)$. Provedeme rozvoj podle 1. sloupce:

$$= 3 \cdot A_{11} - 1 \cdot A_{21} + 2 \cdot A_{31} - 0 \cdot A_{41}$$

kde $A_{ij}$ jsou algebraické doplňky. Spočítáme potřebné subdeterminanty 3×3:

$$M_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= 2(3 \cdot(-2) - 1 \cdot 1) - 0 + (-3)((-1)\cdot 1 - 3 \cdot 4)$$ $$= 2(-7) + (-3)(-13) = -14 + 39 = 25$$

$$M_{21} = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= 0 - (-1)((-1)(-2) - 1 \cdot 4) + 2((-1)\cdot 1 - 3 \cdot 4)$$ $$= 0 + 1(2 - 4) + 2(-1 - 12) = -2 - 26 = -28$$

$$M_{31} = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -3 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= 0 - (-1)(2 \cdot(-2) - (-3)\cdot 4) + 2(2 \cdot 1 - 0 \cdot 4)$$ $$= 0 + 1(-4 + 12) + 2(2) = 8 + 4 = 12$$

$$\det = 3 \cdot 25 - 1 \cdot (-28) + 2 \cdot 12 = 75 + 28 + 24 = 127$$

Pozn.: znaménka: $A_{11} = +M_{11}$, $A_{21} = -M_{21}$, $A_{31} = +M_{31}$.

$$\det(\mathbf{A}) = 127$$

Sloupce matice jsou obrazy standardních bázových vektorů:

$$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Řešíme $\mathbf{M}\vec{x} = \vec{o}$:

$$\left(\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{array}\right)$$

$R_1 \leftrightarrow R_2$, pak $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$, $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$:

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right)$$

$R_3 \leftarrow 3R_3 - 2R_2$:

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

$3x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0$, $x_1 = 0$.

$\ker f = \{\vec{o}\}$

Prostost: $\ker f = \{\vec{o}\}$, tedy $f$ je prosté.

Surjektivnost: $\dim(\mathbb{R}^2) = 2 < 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$. Hodnost matice je 2, ale $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$, takže obraz $f$ je pouze 2-dimenzionální podprostor $\mathbb{R}^3$. Zobrazení $f$ není „na".

a) $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

b) $f$ je prosté

c) $f$ není surjektivní

d) $\ker f = \{\vec{o}\}$

Nejprve najdeme $\mathbf{A}^{-1}$. Pro matici $2 \times 2$:

$$\det(\mathbf{A}) = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 5 = 1$$ $$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{X} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 7 \\ (-5) \cdot 1 + 3 \cdot 1 & (-5) \cdot 4 + 3 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Ověření: $\mathbf{A}\mathbf{X} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&4\\1&7\end{pmatrix} = \mathbf{B}$.

Soustava má nekonečně mnoho řešení, když determinant matice soustavy je nulový a soustava je zároveň kompatibilní. Nejprve spočítáme determinant:

$$\det(\mathbf{A}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & a & 3 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}$$

$$= 1 \cdot a \cdot a + 2 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1 - 1 \cdot a \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot a - 1 \cdot 3 \cdot 1$$ $$= a^2 + 6 + 2 - a - 4a - 3 = a^2 - 5a + 5$$

$$a^2 - 5a + 5 = 0$$ $$D = 25 - 20 = 5$$ $$a = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Pro každou hodnotu $a$ je třeba ověřit, že rozšířená matice má stejnou hodnost jako matice soustavy (Frobeniova věta). Pro obě hodnoty $a = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$ dosadíme do rozšířené matice a ověříme GEM, že soustava je kompatibilní.

Determinant je nulový pro $a = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ a $a = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$. Pro tyto hodnoty má soustava nekonečně mnoho řešení (za předpokladu kompatibility, kterou je třeba ověřit dosazením).