Determinanty a Cramerovo pravidlo

Proč to potřebuji?

Determinant je číslo přiřazené čtvercové matici, které o ní prozradí zásadní informace: je matice regulární? Má soustava jednoznačné řešení? Jaký je objem rovnoběžnostěnu určeného sloupcovými vektory? Determinanty jsou klíčem k výpočtu inverzní matice pomocí adjungované matice a k Cramerovu pravidlu pro řešení soustav.

Předpoklady: Maticové operace (Téma 2), GEM (Téma 1).

Teorie

Permutace a znaménko

Definice 3.1 — Permutace

Permutací množiny $M = \{1, 2, \ldots, n\}$ nazýváme každé vzájemně jednoznačné zobrazení $M$ na $M$. Permutaci $p$ zapisujeme jako $p = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$, kde $p(i) = a_i$. Takových permutací je $n!$.

Definice 3.2 — Inverze a znaménko permutace

Inverze v permutaci $p = (a_1, \ldots, a_n)$ je uspořádaná dvojice $(a_i, a_j)$ taková, že $i < j$ a $a_i > a_j$. Počet inverzí značíme $|p|$.

Znaménko permutace: $\text{sign}\, p = (-1)^{|p|}$. Je-li $\text{sign}\, p = 1$, jde o sudou permutaci; je-li $\text{sign}\, p = -1$, jde o lichou permutaci.

Definice determinantu

Definice 3.3 — Determinant

Nechť $\mathbf{A} = (a_{ij})$ je čtvercová matice řádu $n$. Determinant matice $\mathbf{A}$ je číslo:

$$\det \mathbf{A} = \sum_{p} \text{sign}\, p \cdot a_{1p_1} a_{2p_2} \cdots a_{np_n},$$

kde sčítáme přes všech $n!$ permutací $p = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$ množiny $\{1, 2, \ldots, n\}$.

Determinant značíme také $|\mathbf{A}|$ nebo svislými čarami kolem prvků.

Determinant 2×2 — křížové pravidlo

Věta 3.1 — Determinant 2×2

Pro matici $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ platí:

$$\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$$

Součin prvků na hlavní diagonále minus součin prvků na vedlejší diagonále.

Determinant 3×3 — Sarrusovo pravidlo

Věta 3.2 — Sarrusovo pravidlo

Pro matici $3 \times 3$ platí:

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12}$$

Postup: první dva řádky „připíšeme" pod matici. Sčítáme součiny trojic po hlavních diagonálách ($\searrow$) a odečítáme součiny po vedlejších diagonálách ($\swarrow$).

Pozor!

Sarrusovo pravidlo funguje pouze pro matice 3×3! Pro vyšší řády neexistuje analogický jednoduchý vzorec.

Rozvoj determinantu — kofaktory a minory

Definice 3.4 — Minor a algebraický doplněk (kofaktor)

Minor $M_{ij}$ je determinant matice $\mathbf{A}_{ij}$, která vznikne z $\mathbf{A}$ vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.

Algebraický doplněk (kofaktor): $D_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$.

Věta 3.3 — Rozvoj determinantu podle řádku/sloupce

Determinant matice $\mathbf{A}$ řádu $n > 1$ lze rozvinout podle $i$-tého řádku:

$$\det \mathbf{A} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot D_{ij} = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det \mathbf{A}_{ij}$$

nebo podle $j$-tého sloupce:

$$\det \mathbf{A} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot D_{ij} = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det \mathbf{A}_{ij}$$

Vhodné je rozvinout podle řádku nebo sloupce s co nejvíce nulami.

Řádkové úpravy a determinant

Věta 3.4 — Vliv řádkových operací na determinant

Nechť $\mathbf{B}$ vznikla z matice $\mathbf{A}$ řádu $n$ některou z následujících operací:

Typ I — výměna dvou řádků: $\det \mathbf{B} = -\det \mathbf{A}$ (změní se znaménko)
Typ II — násobek řádku číslem $\alpha \neq 0$: $\det \mathbf{B} = \alpha \cdot \det \mathbf{A}$
Typ III — přičtení $\alpha$-násobku řádku k jinému: $\det \mathbf{B} = \det \mathbf{A}$ (nemění se)

Věta 3.5 — Další vlastnosti determinantu

Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále.
Matice se dvěma stejnými řádky má determinant roven nule.
$\det \mathbf{A}^T = \det \mathbf{A}$.
$\det(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \det \mathbf{A} \cdot \det \mathbf{B}$.
$\det \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}}$.

Adjungovaná matice a inverze přes determinant

Definice 3.5 — Adjungovaná matice

Adjungovaná matice (matice doplňků) k matici $\mathbf{A}$ je:

$$\text{adj}\,\mathbf{A} = \begin{pmatrix} D_{11} & D_{21} & \cdots & D_{n1} \\ D_{12} & D_{22} & \cdots & D_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ D_{1n} & D_{2n} & \cdots & D_{nn} \end{pmatrix}$$

Pozor: adjungovaná matice je transponovaná matice algebraických doplňků!

Věta 3.6 — Inverze pomocí determinantu

Je-li $\det \mathbf{A} \neq 0$, pak:

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \cdot \text{adj}\,\mathbf{A}$$

Cramerovo pravidlo

Věta 3.7 — Cramerovo pravidlo

Nechť $\mathbf{A}$ je čtvercová matice řádu $n$ s $\det \mathbf{A} \neq 0$ a nechť $\mathbf{A}\vec{x} = \vec{b}$ je soustava rovnic. Pak pro každou neznámou $x_i$, $i = 1, \ldots, n$, platí:

$$x_i = \frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}},$$

kde $\mathbf{A}_i$ je matice, která vznikne z $\mathbf{A}$ nahrazením $i$-tého sloupce sloupcem pravých stran $\vec{b}$.

Kdy použít Cramerovo pravidlo?

Cramerovo pravidlo se hodí, pokud:

Potřebujeme spočítat jen jednu složku řešení.
Matice soustavy je velká a řídká (obsahuje hodně nul).

Pro praktické řešení celých soustav je GEM obvykle efektivnější.

Řešené příklady

Příklad 1 — Determinanty 2×2

Spočtěte determinanty: a) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix}$, b) $\begin{vmatrix} 13 & 11 \\ 15 & 0 \end{vmatrix}$, c) $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$.

Řešení

Používáme křížové pravidlo $\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$:

a) $2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = \mathbf{0}$

b) $13 \cdot 0 - 15 \cdot 11 = 0 - 165 = \mathbf{-165}$

c) $2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 = 8 - 9 = \mathbf{-1}$

Příklad 2 — Determinant 3×3 Sarrusovým pravidlem

Spočtěte determinant matice $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ Sarrusovým pravidlem.

Krok 1: Součiny po hlavních diagonálách ($\searrow$)

$$2 \cdot 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 + 24 + 24 = 72$$

Krok 2: Součiny po vedlejších diagonálách ($\swarrow$)

$$4 \cdot 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 + 27 + 8 = 99$$

Krok 3: Výsledek

$$\det \mathbf{A} = 72 - 99 = \mathbf{-27}$$

Příklad 3 — Determinant 4×4 řádkovými úpravami

Spočtěte determinant matice

$$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 & 5 & -2 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$

Krok 1: Vyměníme $R_1 \leftrightarrow R_2$ (chceme pivot 1)

Výměna řádků mění znaménko determinantu:

$$\det \mathbf{B} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 5 & -2 & 6 \\ 2 & 4 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 3 \end{vmatrix}$$

Krok 2: Eliminujeme pod prvním pivotem

$$\xrightarrow{\substack{R_2 - 3R_1 \\ R_3 - 2R_1 \\ R_4 - 3R_1}} -\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & 8 & 0 \end{vmatrix}$$

Krok 3: Eliminujeme pod druhým pivotem

$$\xrightarrow{R_4 - 2R_2} -\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 6 & -6 \end{vmatrix} \xrightarrow{R_4 - 2R_3} -\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -12 \end{vmatrix}$$

Krok 4: Determinant trojúhelníkové matice

Determinant horní trojúhelníkové matice = součin prvků na diagonále:

$$\det \mathbf{B} = -(1 \cdot (-1) \cdot 3 \cdot (-12)) = -(36) = \mathbf{-36}$$

Příklad 4 — Determinant 4×4 rozvojem podle sloupce

Spočtěte determinant matice rozvojem podle vhodného řádku/sloupce:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 7 & 1 & 6 & 5 \\ 3 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

Krok 1: Volíme řádek s nejvíce nulami

První řádek má tři nuly. Rozvíjíme podle 1. řádku:

$$\det \mathbf{A} = 0 \cdot D_{11} + 0 \cdot D_{12} + 0 \cdot D_{13} + 2 \cdot D_{14}$$

Stačí spočítat $D_{14} = (-1)^{1+4} \det \mathbf{A}_{14} = -\det \mathbf{A}_{14}$.

Krok 2: Vypočteme minor $\mathbf{A}_{14}$

Vynecháme 1. řádek a 4. sloupec:

$$\det \mathbf{A}_{14} = \begin{vmatrix} 7 & 1 & 6 \\ 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$

Sarrusem: hlavní diagonály $= 7 \cdot 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \cdot 0 + 6 \cdot 3 \cdot 3 = -28 + 0 + 54 = 26$.

Vedlejší diagonály $= 0 \cdot 4 \cdot 6 + 3 \cdot 2 \cdot 7 + (-1) \cdot 1 \cdot 3 = 0 + 42 - 3 = 39$.

Pozor, přesněji: $-(a_{31}a_{22}a_{13} + a_{32}a_{23}a_{11} + a_{33}a_{21}a_{12})$

$= -(0 \cdot 4 \cdot 6 + 3 \cdot 2 \cdot 7 + (-1) \cdot 3 \cdot 1) = -(0 + 42 - 3) = -39$.

$\det \mathbf{A}_{14} = 26 - 39 = -13$.

Krok 3: Dosadíme

$$D_{14} = (-1)^5 \cdot (-13) = -1 \cdot (-13) = 13$$ $$\det \mathbf{A} = 2 \cdot 13 = \mathbf{26}$$

Příklad 5 — Inverzní matice pomocí adjungované matice

Najděte inverzní matici k $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ pomocí vzorce $\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \cdot \text{adj}\,\mathbf{A}$.

Krok 1: Determinant

$$\det \mathbf{A} = 1 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2) = -1 + 6 = 5 \neq 0$$

Krok 2: Algebraické doplňky

$$D_{11} = (-1)^{2}(-1) = -1, \quad D_{12} = (-1)^{3}(-2) = 2$$ $$D_{21} = (-1)^{3}(3) = -3, \quad D_{22} = (-1)^{4}(1) = 1$$

Krok 3: Adjungovaná matice (transponujeme matici kofaktorů)

$$\text{adj}\,\mathbf{A} = \begin{pmatrix} D_{11} & D_{21} \\ D_{12} & D_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Krok 4: Výsledek

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Kontrola: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \mathbf{E}_2$ ✓

Příklad 6 — Cramerovo pravidlo pro soustavu 3×3

Pomocí Cramerova pravidla určete řešení soustavy:

$$\begin{aligned} 2x_1 - 3x_2 + x_3 &= 1 \\ x_1 + 2x_2 - x_3 &= -1 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 &= 2 \end{aligned}$$

Krok 1: Determinant matice soustavy

Rozvojem podle 1. řádku:

$$D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix} -(-3)\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}$$ $$= 2(2+1) + 3(1+2) + (1-4) = 6 + 9 - 3 = 12$$

$D = 12 \neq 0$, takže Cramerovo pravidlo lze použít.

Krok 2: Determinanty $D_1, D_2, D_3$

$D_1$ — nahradíme 1. sloupec pravými stranami $(1, -1, 2)^T$:

$$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}-1&-1\\2&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}-1&2\\2&1\end{vmatrix}$$ $$= 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-5) = 3 + 3 - 5 = 1$$

$D_2$ — nahradíme 2. sloupec:

$$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}-1&-1\\2&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&-1\\2&2\end{vmatrix}$$ $$= 2(1) - 1(3) + 1(4) = 2 - 3 + 4 = 3$$

$D_3$ — nahradíme 3. sloupec:

$$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}1&-1\\2&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}$$ $$= 2(5) + 3(4) + 1(-3) = 10 + 12 - 3 = 19$$

Krok 3: Výsledek

$$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{1}{12}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}, \quad x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{19}{12}$$

Zkouška v 1. rovnici: $2 \cdot \frac{1}{12} - 3 \cdot \frac{1}{4} + \frac{19}{12} = \frac{2}{12} - \frac{9}{12} + \frac{19}{12} = \frac{12}{12} = 1$ ✓

Cvičení k procvičení

Cvičení 1: Křížovým pravidlem spočtěte determinanty:

a) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix}$; b) $\begin{vmatrix} 13 & 11 \\ 15 & 0 \end{vmatrix}$.

a) $0$; b) $-165$.

Cvičení 2: Sarrusovým pravidlem spočtěte:

a) $\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$; b) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{vmatrix}$; c) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}$; d) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 16 \end{vmatrix}$.

a) $20$; b) $1$; c) $-27$; d) $2$.

Cvičení 3: Pomocí rozvoje a řádkových úprav spočtěte:

a) $\begin{vmatrix} 1&2&2&3 \\ 1&0&-2&0 \\ 3&-1&1&-2 \\ 4&-3&0&2 \end{vmatrix}$; b) $\begin{vmatrix} 2&1&3&2 \\ 3&0&1&-2 \\ 1&-1&4&3 \\ 2&2&-1&1 \end{vmatrix}$.

a) $-131$; b) $-55$.

Cvičení 4: Určete, zda jsou determinanty rovny nule, nebo jsou nenulové:

a) $\begin{vmatrix} 0&4&10&1 \\ 4&8&18&7 \\ 10&18&40&17 \\ 1&7&17&3 \end{vmatrix}$; b) $\begin{vmatrix} 2&1&3&-1 \\ 3&-1&2&0 \\ 1&3&4&-2 \\ 4&-3&1&1 \end{vmatrix}$.

a) $0$; b) $0$.

Cvičení 5: Řešte rovnice:

a) $\begin{vmatrix} 1&3&5 \\ 4&2&1 \\ 2&4&1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&-x \\ x&3 \end{vmatrix}$; b) $\begin{vmatrix} 1&0&x \\ -1&x&0 \\ 0&1&x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{vmatrix}$.

a) $x = \pm 7$; b) $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.

Cvičení 6: Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 12 \end{array}\right)$$

$(x_1, x_2, x_3) = (2, 3, 5)$.

Cvičení 7: Vypočtěte inverzní matici pomocí determinantu a adjungované matice:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$.

$\det \mathbf{A} = -4$, $\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ -1/4 & -1/2 \end{pmatrix}$.

Shrnutí

Klíčové vzorce a pojmy

Determinant 2×2: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Sarrusovo pravidlo: pro determinant $3 \times 3$ (hlavní minus vedlejší diagonály)
Kofaktor: $D_{ij} = (-1)^{i+j} \det \mathbf{A}_{ij}$
Rozvoj: $\det \mathbf{A} = \sum_j a_{ij} D_{ij}$ (po $i$-tém řádku)
Řádkové úpravy: výměna mění znaménko, přičtení nemění, násobení číslem násobí determinant
Trojúhelníková matice: $\det = $ součin diagonálních prvků
Inverze: $\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \text{adj}\,\mathbf{A}$
Cramer: $x_i = \frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}$

Časté chyby

Sarrusovo pravidlo pro matice $4 \times 4$ a vyšší -- nefunguje!
Zapomeneš změnit znaménko determinantu při výměně řádků
Při rozvoji zapomeneš na faktor $(-1)^{i+j}$ u kofaktoru
Zaměníš adj$\,\mathbf{A}$ a matici kofaktorů -- adj je transponovaná!