Vektorové prostory a lineární kombinace

Proč to potřebuji?

Vektorový prostor je abstraktní struktura, která zobecňuje pojem „vektory v rovině" na libovolnou dimenzi a dokonce i na množiny funkcí, polynomů nebo matic. Pochopení této struktury je klíčem k hlubšímu porozumění lineární algebře — od řešení soustav rovnic po transformace souřadnic.

Předpoklady: GEM (Téma 1), maticové operace (Téma 2).

Teorie

Vektor v $\mathbb{R}^n$

Definice 4.1 — Vektor

Vektor je uspořádaná $n$-tice reálných čísel. Sloupcový vektor je matice typu $(n, 1)$:

$$\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$$

Řádkový vektor je matice typu $(1, n)$: $\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$.

Prostor $\mathbb{R}^n = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}$ ($n$-krát) je množina všech $n$-tic reálných čísel.

Definice vektorového prostoru

Definice 4.2 — Lineární (vektorový) prostor

Množinu $V$ nazveme lineárním prostorem (vektorovým prostorem) nad množinou reálných čísel $\mathbb{R}$, jsou-li na $V$ definovány operace „sčítání" a „násobení reálným číslem" splňující následující vlastnosti:

Axiomy sčítání:

A1 (komutativita): $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$ pro všechna $\vec{x}, \vec{y} \in V$
A2 (asociativita): $(\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z})$ pro všechna $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in V$
A3 (nulový prvek): existuje $\vec{o} \in V$ takový, že $\vec{x} + \vec{o} = \vec{x}$ pro všechny $\vec{x} \in V$
A4 (opačný prvek): pro každý $\vec{x} \in V$ existuje $-\vec{x} \in V$ takový, že $\vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{o}$

Axiomy násobení skalárem:

M1 (distributivita vůči sčítání vektorů): $\alpha(\vec{x} + \vec{y}) = \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}$ pro každé $\alpha \in \mathbb{R}$ a $\vec{x}, \vec{y} \in V$
M2 (distributivita vůči sčítání skalárů): $(\alpha + \beta)\vec{x} = \alpha\vec{x} + \beta\vec{x}$ pro všechna $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a $\vec{x} \in V$
M3 (asociativita): $(\alpha\beta)\vec{x} = \alpha(\beta\vec{x})$ pro všechna $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a $\vec{x} \in V$
M4 (jednička): $1 \cdot \vec{x} = \vec{x}$ pro každý $\vec{x} \in V$

Prvkům $V$ říkáme vektory, reálným číslům skaláry.

Příklady vektorových prostorů

$\mathbb{R}^n$ se sčítáním po složkách a násobením skalárem
$\mathbb{R}^{m \times n}$ — množina všech reálných matic typu $m \times n$
$P_n$ — množina všech polynomů stupně nejvýše $n$
Množina všech spojitých funkcí na intervalu $\langle a, b \rangle$

Pozor! Ne každá množina je vektorový prostor

Množina $\mathbb{Z}^2$ (vektory s celočíselnými složkami) není vektorový prostor nad $\mathbb{R}$, protože není uzavřená na násobení skalárem: $\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 \\ 1 \end{pmatrix} \notin \mathbb{Z}^2$.

Podprostor

Definice 4.3 — Podprostor

Nechť $V$ je lineární prostor. Neprázdná podmnožina $S \subset V$ je podprostorem $V$, právě když:

$S \neq \emptyset$ (neprázdná množina)
Pro všechna $\vec{x}, \vec{y} \in S$ je také $\vec{x} + \vec{y} \in S$ (uzavřenost na sčítání)
Pro všechna $\vec{x} \in S$ a $\alpha \in \mathbb{R}$ je také $\alpha\vec{x} \in S$ (uzavřenost na násobení skalárem)

Stačí ověřit tyto 3 podmínky (bod 1 lze splnit ověřením $\vec{o} \in S$) — ostatní axiomy se dědí z $V$.

Poznámka

Každý lineární prostor $V$ je podprostorem sám sebe (nevlastní podprostor). Množina $\{\vec{o}\}$ je triviální (nulový) podprostor.

Lineární kombinace

Definice 4.4 — Lineární kombinace

Nechť $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k$ jsou vektory z lineárního prostoru $V$. Součet

$$\alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \cdots + \alpha_k \vec{v}_k,$$

kde $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{R}$, se nazývá lineární kombinace vektorů $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k$ s koeficienty $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$.

Lineární obal (span)

Definice 4.5 — Lineární obal

Množinu všech lineárních kombinací vektorů $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k$ nazýváme lineární obal a značíme:

$$[\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k] = \left\{\alpha_1\vec{v}_1 + \alpha_2\vec{v}_2 + \cdots + \alpha_k\vec{v}_k \;\middle|\; \alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{R}\right\}$$

Lineární obal je vždy podprostorem $V$.

Věta 4.1 — O lineárním obalu

Jsou-li $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k$ prvky lineárního prostoru $V$, pak $[\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k]$ je podprostor $V$.

Definice 4.6 — Generátory prostoru

Říkáme, že množina $\{\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n\}$ generuje lineární prostor $V$, pokud $V = [\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n]$, tj. každý vektor z $V$ lze zapsat jako lineární kombinaci těchto vektorů.

Lineární závislost a nezávislost

Definice 4.7 — Lineární nezávislost

Vektory $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k \in V$ jsou lineárně nezávislé (LN), jestliže z rovnosti

$$\alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \cdots + \alpha_k \vec{v}_k = \vec{o}$$

vyplývá, že $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$.

Nejsou-li vektory lineárně nezávislé, nazývají se lineárně závislé (LZ) — to znamená, že existuje netriviální lineární kombinace (alespoň jedno $\alpha_i \neq 0$), která dává nulový vektor.

Věta 4.2 — Lineární závislost a kombinace

Vektory $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k$, kde $k > 1$, jsou lineárně závislé právě tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních.

Jak testovat lineární nezávislost pomocí GEM

Vektory z $\mathbb{R}^n$ zapíšeme jako sloupce (nebo řádky) matice a převedeme na odstupňovaný tvar pomocí GEM:

Pokud $\text{hod}\,\mathbf{A} = k$ (počet vektorů) → vektory jsou lineárně nezávislé
Pokud $\text{hod}\,\mathbf{A} < k$ → vektory jsou lineárně závislé

Ekvivalentně: rovnice $\alpha_1\vec{v}_1 + \cdots + \alpha_k\vec{v}_k = \vec{o}$ je homogenní soustava. Má-li jen triviální řešení → LN. Má-li netriviální řešení → LZ.

Poznámka — LN přes determinant

Pro $n$ vektorů v $\mathbb{R}^n$ (čtvercová matice): vektory jsou LN právě tehdy, když $\det \neq 0$.

Řešené příklady

Příklad 1 — Ověření podprostoru

Rozhodněte, zda množina $S = \left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \;\middle|\; x_1 + x_2 + x_3 = 0 \right\}$ je podprostorem $\mathbb{R}^3$.

Krok 1: $S$ je neprázdná

Nulový vektor $\vec{o} = (0, 0, 0)^T$: $0 + 0 + 0 = 0$ ✓, takže $\vec{o} \in S$.

Krok 2: Uzavřenost na sčítání

Nechť $\vec{x}, \vec{y} \in S$. Pak $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ a $y_1 + y_2 + y_3 = 0$.

Pro součet: $(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) = (x_1 + x_2 + x_3) + (y_1 + y_2 + y_3) = 0 + 0 = 0$.

Tedy $\vec{x} + \vec{y} \in S$ ✓

Krok 3: Uzavřenost na násobení skalárem

Nechť $\vec{x} \in S$ a $\alpha \in \mathbb{R}$. Pak $\alpha x_1 + \alpha x_2 + \alpha x_3 = \alpha(x_1 + x_2 + x_3) = \alpha \cdot 0 = 0$.

Tedy $\alpha\vec{x} \in S$ ✓

Závěr

$S$ je podprostorem $\mathbb{R}^3$.

Navíc: $x_1 = -x_2 - x_3$, takže $\vec{x} = x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$. Jde o rovinu procházející počátkem.

Příklad 2 — Množina, která NENÍ podprostor

Rozhodněte, zda $S = \left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \;\middle|\; x_1 + x_2 + x_3 = 1 \right\}$ je podprostorem $\mathbb{R}^3$.

Řešení

Nulový vektor: $0 + 0 + 0 = 0 \neq 1$. Tedy $\vec{o} \notin S$.

$S$ není podprostorem $\mathbb{R}^3$ (neobsahuje nulový vektor).

Geometricky: jde o rovinu, která neprochází počátkem.

Příklad 3 — Vyjádření vektoru jako lineární kombinace

Leží vektor $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ v lineárním obalu vektorů $\vec{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ a $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$? Pokud ano, vyjádřete $\vec{x}$ jako lineární kombinaci.

Krok 1: Sestavíme soustavu

Hledáme $a, b \in \mathbb{R}$ takové, že $a \cdot \vec{u}_1 + b \cdot \vec{u}_2 = \vec{x}$:

$$a \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$$

To dává soustavu:

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -4 \end{array}\right)$$

Krok 2: GEM

$$\xrightarrow{\substack{R_2 + R_1 \to R_2 \\ R_3 - 2R_1 \to R_3}} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & -4 & -4 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 + \frac{4}{3}R_2 \to R_3} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Krok 3: Zpětná substituce

$3b = 3 \Rightarrow b = 1$

$a + 2b = 0 \Rightarrow a = -2$

$\vec{x}$ leží v lineárním obalu a platí:

$$\vec{x} = -2\vec{u}_1 + 1 \cdot \vec{u}_2$$

Příklad 4 — Test lineární nezávislosti v $\mathbb{R}^3$

Určete, zda jsou vektory $\vec{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\vec{u}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ lineárně nezávislé.

Krok 1: Sestavíme homogenní soustavu

Řešíme $c_1\vec{u}_1 + c_2\vec{u}_2 + c_3\vec{u}_3 = \vec{o}$, což dává soustavu:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & -2 & 2 & 0 \end{array}\right)$$

Krok 2: GEM

$$\xrightarrow{\substack{R_2 - R_1 \to R_2 \\ R_3 - 2R_1 \to R_3}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 - R_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Krok 3: Vyhodnocení

Hodnost matice: $\text{hod}\,\mathbf{A} = 2 < 3$ (počet vektorů). Existuje volná proměnná $c_3$.

Soustava má netriviální řešení → vektory jsou lineárně závislé (LZ).

Konkrétně: $4c_2 + 4c_3 = 0 \Rightarrow c_2 = -c_3$. Položíme $c_3 = 1$: $c_2 = -1$, $c_1 = 3(-1)+(-1) \cdot 1 = -3-1$... Z prvního řádku: $c_1 -3c_2 - c_3 = 0 \Rightarrow c_1 = 3(-1) + 1 = -2$.

Ověření: $-2\vec{u}_1 - \vec{u}_2 + \vec{u}_3 = \begin{pmatrix}-2\\-2\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ ✓

Příklad 5 — Lineární nezávislost v $\mathbb{R}^4$

Určete, zda jsou vektory $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}$, $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}$ lineárně nezávislé v $\mathbb{R}^4$.

Krok 1: Sestavíme matici z vektorů jako sloupců

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Krok 2: GEM

$$\xrightarrow{R_3 - R_1 \to R_3} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow{R_4 - R_2 \to R_4} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{R_4 - R_3 \to R_4} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Krok 3: Vyhodnocení

Hodnost: $\text{hod}\,\mathbf{A} = 3$ = počet vektorů. Soustava má jen triviální řešení $c_1 = c_2 = c_3 = 0$.

Vektory jsou lineárně nezávislé (LN).

Příklad 6 — Vyjádření vektoru v lineárním obalu

Leží vektor $\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ v lineárním obalu vektorů $\vec{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{u}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$? Pokud ano, určete všechna vyjádření.

Krok 1: Soustava $a\vec{u}_1 + b\vec{u}_2 + c\vec{u}_3 = \vec{x}$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 5 & 1 \end{array}\right)$$

Krok 2: GEM

$$\xrightarrow{\substack{R_2 - R_1 \\ R_3 - 2R_1 \\ R_4 - 3R_1}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 2 \\ 0 & 8 & 8 & 4 \end{array}\right) \xrightarrow{\substack{R_3 - R_2 \\ R_4 - 2R_2}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Krok 3: Zpětná substituce

Hodnost: $\text{hod}\,\mathbf{A} = \text{hod}\,(\mathbf{A}|\vec{x}) = 2$ — řešení existuje a závisí na jednom parametru.

$c = t$ (volná proměnná), $4b + 4t = 2 \Rightarrow b = \frac{1}{2} - t$.

$a - 3b - t = -1 \Rightarrow a = -1 + 3(\frac{1}{2} - t) + t = -1 + \frac{3}{2} - 3t + t = \frac{1}{2} - 2t$.

$\vec{x}$ leží v lineárním obalu $[\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3]$ a platí:

$$\vec{x} = \left(\tfrac{1}{2} - 2t\right)\vec{u}_1 + \left(\tfrac{1}{2} - t\right)\vec{u}_2 + t \cdot \vec{u}_3, \quad t \in \mathbb{R}$$

Vyjádření není jednoznačné, protože vektory jsou lineárně závislé.

Příklad 7 — Lineární kombinace funkcí

Vyjádřete funkci $g: y = 1 - 3x^2$ jako lineární kombinaci funkcí $f_1: y = 1 + x$, $f_2: y = x + x^2$, $f_3: y = 1 + x^2$.

Krok 1: Sestavíme rovnici

Hledáme $a, b, c \in \mathbb{R}$: $a(1+x) + b(x+x^2) + c(1+x^2) = 1 - 3x^2$.

Rozepíšeme: $(a + c) + (a + b)x + (b + c)x^2 = 1 + 0 \cdot x - 3x^2$.

Krok 2: Porovnáme koeficienty u stejných mocnin

$$\begin{aligned} a + c &= 1 \quad &\text{(absolutní člen)} \\ a + b &= 0 \quad &\text{(koef. u } x\text{)} \\ b + c &= -3 \quad &\text{(koef. u } x^2\text{)} \end{aligned}$$

Krok 3: Řešení soustavy

Z 2. rovnice: $a = -b$. Dosadíme do 1.: $-b + c = 1$, tedy $c = 1 + b$.

Dosadíme do 3.: $b + (1+b) = -3 \Rightarrow 2b = -4 \Rightarrow b = -2$.

$a = 2$, $c = -1$.

$g = 2f_1 - 2f_2 - f_3$.

Kontrola: $2(1+x) - 2(x+x^2) - (1+x^2) = 2+2x-2x-2x^2-1-x^2 = 1-3x^2$ ✓

Cvičení k procvičení

Cvičení 1: Zjistěte, zda uvedené množiny s operacemi sčítání a násobení reálným číslem „po složkách" tvoří lineární prostor:

a) $\{(x_1, \ldots, x_n)\}$; b) $\{(x_1, \ldots, x_n) : x_1 + \cdots + x_n = 0\}$; c) $\{(x_1, \ldots, x_n) : x_1 + \cdots + x_n = 1\}$; d) $\{(x_1, x_2) : x_2 = 2 - x_1\}$.

a) ano; b) ano; c) ne (neobsahuje $\vec{o}$); d) ne (neobsahuje $\vec{o}$).

Cvičení 2: Rozhodněte, zda vektor $\vec{x} = \begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}$ leží v lineárním obalu vektorů $\vec{u}_1 = \begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.

$\vec{x} \notin [\vec{u}_1, \vec{u}_2]$ (soustava nemá řešení).

Cvičení 3: Určete $p$ tak, aby vektor $\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\p\\-1\end{pmatrix}$ byl lineární kombinací vektorů $\vec{u}_1 = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$.

$p = 8$.

Cvičení 4: Určete, zda jsou vektory lineárně závislé nebo nezávislé:

a) $\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ v $\mathbb{R}^3$; b) $\begin{pmatrix}1\\1\\2\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\1\\-2\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\3\\2\\5\end{pmatrix}$ v $\mathbb{R}^4$.

a) LN (nezávislé); b) LZ (závislé).

Cvičení 5: Určete $q$ tak, aby vektory $\vec{u}_1 = \begin{pmatrix}1\\q\\3\\1\end{pmatrix}$, $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix}2\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$, $\vec{u}_3 = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\2\end{pmatrix}$, $\vec{u}_4 = \begin{pmatrix}0\\-1\\2\\1\end{pmatrix}$ byly lineárně nezávislé.

$q \neq -1$.

Cvičení 6: Vyjádřete funkci $g: y = 2x^2 - 3$ jako lineární kombinaci funkcí $f_1: y = 1$, $f_2: y = x$, $f_3: y = x^2$.

$g = -3 \cdot f_1 + 0 \cdot f_2 + 2 \cdot f_3$.

Cvičení 7: Vyjádřete $g: y = -3 + x + 4x^2$ jako lineární kombinaci funkcí $f_1: y = 1+x$, $f_2: y = x+x^2$, $f_3: y = x^2 - 1$. Je vyjádření jednoznačné?

$g = (t-3) f_1 + (4-t) f_2 + t \cdot f_3$, $t \in \mathbb{R}$. Vyjádření není jednoznačné (nekonečně mnoho).

Shrnutí

Klíčové vzorce a pojmy

Vektorový prostor: množina s 8 axiomy (A1--A4, M1--M4)
Podprostor: neprázdná podmnožina uzavřená na sčítání a násobení skalárem
Lineární kombinace: $\alpha_1\vec{v}_1 + \cdots + \alpha_k\vec{v}_k$
Lineární obal: $[\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k]$ = množina všech lineárních kombinací
LN: $\alpha_1\vec{v}_1 + \cdots + \alpha_k\vec{v}_k = \vec{o}$ $\Rightarrow$ všechna $\alpha_i = 0$
LZ: existuje netriviální kombinace dávající $\vec{o}$
Test LN: GEM na matici vektorů; hod = počet vektorů $\Leftrightarrow$ LN
Test LN pro čtvercovou matici: $\det \neq 0$ $\Leftrightarrow$ LN

Časté chyby

Při ověřování podprostoru zapomeneš zkontrolovat, že $\vec{o} \in S$
Zaměníš „leží v lineárním obalu" a „je lineárně nezávislý" -- jiné otázky!
Při testu LN zapomeneš, že matice se vektory jako sloupce a matice s vektory jako řádky dávají stejnou hodnost
U prostorů funkcí zapomeneš porovnat koeficienty u všech mocnin