Báze a dimenze vektorového prostoru

Proč to potřebuji?

Báze je nejmenší množina vektorů, která „pokryje" celý vektorový prostor. Dimenze pak říká, kolik nezávislých směrů prostor má. Tyto pojmy jsou klíčové pro pochopení struktury vektorových prostorů a jsou základem pro souřadnicové systémy, lineární zobrazení a mnoho dalšího.

Předpoklady: Vektorové prostory, lineární nezávislost, lineární obal, řádkové úpravy matice (GEM).

Teorie

Generátory vektorového prostoru

Definice 5.1 — Množina generátorů

Množina generátorů vektorového prostoru $\mathbb{V}$ je množina vektorů z $\mathbb{V}$ taková, že pomocí lineárních kombinací těchto vektorů lze vytvořit všechny prvky $\mathbb{V}$.

Říkáme, že vektory $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k$ generují prostor $\mathbb{V}$, jestliže $[\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k] = \mathbb{V}$.

Množina generátorů nemusí být jednoznačná — jeden prostor může mít mnoho různých množin generátorů. Některé z nich však mohou obsahovat „přebytečné" vektory.

Příklad — Generátory $\mathbb{R}^3$

Množina $\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}\right\}$ je množina generátorů $\mathbb{R}^3$ (4 vektory, ale stačí 3).

Množina $\left\{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\right\}$ je také množina generátorů $\mathbb{R}^3$ (a navíc jsou lineárně nezávislé).

Báze vektorového prostoru

Definice 5.2 — Báze

Báze vektorového prostoru $\mathbb{V}$ je množina vektorů $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \ldots, \vec{b}_n\}$ z $\mathbb{V}$, která je:

lineárně nezávislá (žádný vektor nelze vyjádřit jako LK ostatních),
množinou generátorů $\mathbb{V}$ (generuje celý prostor $\mathbb{V}$).

Poznámka — Standardní báze

Nejznámější báze $\mathbb{R}^n$ je standardní (kanonická) báze:

$$\vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}, \quad \ldots, \quad \vec{e}_n = \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}$$

Dimenze vektorového prostoru

Věta 5.1 — Jednoznačnost počtu prvků báze

Vektorový prostor má nekonečně mnoho bází, ale všechny jeho báze mají stejný počet prvků.

Definice 5.3 — Dimenze

Dimenze vektorového prostoru $\mathbb{V}$ je počet prvků libovolné báze $\mathbb{V}$. Značíme $\dim(\mathbb{V})$.

Příklady dimenzí

$\dim(\mathbb{R}^n) = n$
$\dim(\{(0,0,0)^T\}) = 0$ (triviální prostor nemá žádný bázový vektor)
Prostor polynomů stupně nejvýše $n$ má dimenzi $n+1$

Hledání báze pomocí GEM

Máme-li množinu vektorů, které generují prostor $\mathbb{V}$, můžeme najít bázi $\mathbb{V}$ pomocí Gaussovy eliminační metody:

Postup hledání báze

Zapíšeme dané vektory jako řádky matice $\mathbf{A}$.
Převedeme matici na řádkově odstupňovaný tvar (GEM).
Nenulové řádky výsledné matice tvoří bázi řádkového prostoru matice $\mathbf{A}$.
Počet nenulových řádků = dimenze prostoru.

Pozor!

Řádkové úpravy nemění řádkový prostor matice (prostor generovaný řádky), ale mění sloupcový prostor. Pokud chcete bázi generovanou původními vektory, musíte sledovat, které vektory odpovídají pivotům.

Souřadnice vektoru v bázi

Definice 5.4 — Souřadnice vzhledem k bázi

Nechť $B = [\vec{b}_1, \vec{b}_2, \ldots, \vec{b}_n]$ je báze prostoru $\mathbb{V}$ a $\vec{x} \in \mathbb{V}$. Pak existuje právě jedna $n$-tice koeficientů $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ taková, že:

$$\vec{x} = \alpha_1 \vec{b}_1 + \alpha_2 \vec{b}_2 + \cdots + \alpha_n \vec{b}_n$$

Vektor $\langle \vec{x} \rangle_B = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)^T$ nazýváme souřadnice vektoru $\vec{x}$ vzhledem k bázi $B$.

Souřadnice najdeme tak, že řešíme soustavu rovnic: hledáme koeficienty $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ takové, že $\alpha_1 \vec{b}_1 + \cdots + \alpha_n \vec{b}_n = \vec{x}$.

Matice přechodu od báze k bázi

Definice 5.5 — Matice přechodu

Nechť $B$ a $C$ jsou dvě báze prostoru $\mathbb{V}$. Matice přechodu $\mathbf{M}_{B \to C}$ je matice, která převádí souřadnice vektoru z báze $B$ na souřadnice v bázi $C$:

$$\langle \vec{x} \rangle_C = \mathbf{M}_{B \to C} \cdot \langle \vec{x} \rangle_B$$

Jak najít matici přechodu

Sloupcemi matice $\mathbf{M}_{B \to C}$ jsou souřadnice bázových vektorů báze $B$ vyjádřené v bázi $C$. Prakticky:

Sestavíme rozšířenou matici $(C \mid B)$, kde sloupce $C$ jsou vektory báze $C$ a sloupce $B$ jsou vektory báze $B$.
Převedeme GEM na tvar $(E \mid \mathbf{M}_{B \to C})$.

Platí také: $\mathbf{M}_{B \to C} = [\mathbf{M}_{C \to E}]^{-1} \cdot \mathbf{M}_{B \to E}$, kde $E$ je standardní báze.

Řešené příklady

Příklad 1 — Určení báze a dimenze prostoru generovaného vektory

Určete dimenzi a najděte bázi prostoru $\mathbb{V}$ generovaného vektory:

$$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix}3\\0\\-6\end{pmatrix}$$

Krok 1: Zapíšeme vektory jako řádky matice

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & -6 \end{pmatrix}$$

Krok 2: GEM

$$\xrightarrow{\substack{R_2 + 2R_1 \to R_2 \\ R_3 - 3R_1 \to R_3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Vidíme, že $\vec{v}_2 = -2\vec{v}_1$ a $\vec{v}_3 = 3\vec{v}_1$, takže všechny tři vektory jsou násobky $\vec{v}_1$.

Krok 3: Výsledek

Matice má 1 nenulový řádek, tedy $\dim(\mathbb{V}) = 1$ a báze je:

$$B_{\mathbb{V}} = \left\{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\right\}$$

Příklad 2 — Báze a dimenze prostoru s LNZ vektory

Určete dimenzi a najděte bázi prostoru $\mathbb{V}$ generovaného vektory:

$$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Krok 1: Zapíšeme vektory jako řádky matice a provedeme GEM

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_1 \to R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_2 \to R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Krok 2: Výsledek

Matice má 3 nenulové řádky, tedy $\dim(\mathbb{V}) = 3$.

Protože $\dim(\mathbb{V}) = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$, je $\mathbb{V} = \mathbb{R}^3$. Vektory $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ tvoří bázi $\mathbb{R}^3$:

$$B_{\mathbb{V}} = \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$$

Příklad 3 — Nalezení báze z většího počtu vektorů

Najděte bázi prostoru $\mathbb{V}$ generovaného vektory a určete souřadnice vektorů $\vec{x}_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ a $\vec{x}_2 = \begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}$ vzhledem k nalezené bázi.

$$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}$$

Krok 1: Najdeme bázi pomocí GEM

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{R_2 - 2R_1 \\ R_3 - 3R_1}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Dva nenulové řádky, tedy $\dim(\mathbb{V}) = 2$ a báze $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$.

Krok 2: Souřadnice $\vec{x}_1$ v bázi $B$

Řešíme $\alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 = \vec{x}_1$:

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 + 5R_2} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)$$

Poslední řádek dává $0 = 4$ — spor! Vektor $\vec{x}_1$ nepatří do prostoru $\mathbb{V}$.

Krok 3: Souřadnice $\vec{x}_2$ v bázi $B$

Řešíme $\alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 = \vec{x}_2$:

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & -5 & -1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 + 5R_2} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 24 \end{array}\right)$$

Opět spor — ani $\vec{x}_2$ nepatří do $\mathbb{V}$. To dává smysl: $\mathbb{V}$ je 2-dimenzionální podprostor $\mathbb{R}^3$ (rovina), ne celý $\mathbb{R}^3$.

Příklad 4 — Souřadnice vektoru v bázi

Je dána báze $B = \left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]$ prostoru $\mathbb{R}^3$. Určete souřadnice vektoru $\vec{x} = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$ vzhledem k $B$.

Krok 1: Sestavíme soustavu rovnic

Hledáme $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ tak, aby:

$$\alpha_1 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$$

Krok 2: Rozšířená matice a GEM

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right)$$

Matice je již v odstupňovaném tvaru! Zpětná substituce:

$3\alpha_3 = 1 \Rightarrow \alpha_3 = \frac{1}{3}$
$2\alpha_2 + 2 \cdot \frac{1}{3} = 2 \Rightarrow \alpha_2 = \frac{2}{3}$
$\alpha_1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 3 \Rightarrow \alpha_1 = 2$

Krok 3: Výsledek

$$\langle \vec{x} \rangle_B = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$

Příklad 5 — Souřadnice vektoru ve dvou bázích

Určete souřadnice vektoru $\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ vzhledem k bázi $B$ a k bázi $C$:

$$B = \left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right], \quad C = \left[\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]$$

Krok 1: Souřadnice v bázi $B$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$

Zpětná substituce: $\alpha_3 = 1$, $\alpha_2 = -1 - 1 = -2$, $\alpha_1 = 1 + 2 - 1 = 2$.

$$\langle \vec{x} \rangle_B = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Krok 2: Souřadnice v bázi $C$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{\substack{R_2 - R_1 \\ R_3 - R_1}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{array}\right)$$

Zpětná substituce: $\beta_3 = 2$, $-\beta_2 - (-2) = 0 \Rightarrow \beta_2 = 2$, $\beta_1 + 2 + 2 = 1 \Rightarrow \beta_1 = -3$. Oprava: $\beta_2 = -2$, neboť $-\beta_2 = 0 + (-2) = -2$, tedy $\beta_2 = 2$.

Kontrola: $-\beta_2 - \beta_3 = 0 \Rightarrow -\beta_2 = 2 \Rightarrow \beta_2 = -2$. Pak $\beta_1 + (-2) + 2 = 1 \Rightarrow \beta_1 = 1$.

$$\langle \vec{x} \rangle_C = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Příklad 6 — Matice přechodu mezi bázemi

Uvažujme báze $B$ a $C$ z předchozího příkladu. Určete matici přechodu $\mathbf{M}_{B \to C}$.

Krok 1: Sestavíme rozšířenou matici $(C \mid B)$

Do levé části dáme vektory báze $C$ (jako sloupce) a do pravé vektory báze $B$:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Krok 2: Převedeme levou část na jednotkovou matici

$$\xrightarrow{\substack{R_2 - R_1 \\ R_3 - R_1}} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{\substack{-R_2 \\ -R_3}} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{\substack{R_2 - R_3 \\ R_1 - R_3}} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{R_1 - R_2} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Krok 3: Výsledek

$$\mathbf{M}_{B \to C} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Ověření: $\langle \vec{x} \rangle_C = \mathbf{M}_{B \to C} \cdot \langle \vec{x} \rangle_B = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ — souhlasí s příkladem 5!

Příklad 7 — Dimenze prostoru v $\mathbb{R}^4$

Určete dimenzi a bázi prostoru $\mathbb{V}$ generovaného vektory:

$$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}, \; \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\0\\-1\\2\end{pmatrix}, \; \vec{v}_3 = \begin{pmatrix}4\\2\\1\\4\end{pmatrix}, \; \vec{v}_4 = \begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix}$$

Krok 1: GEM

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{R_2 - 2R_1 \\ R_3 - 4R_1}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{R_3 - R_2 \\ R_4 + R_2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Krok 2: Výsledek

$\dim(\mathbb{V}) = 2$ a báze $B_{\mathbb{V}} = \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\0\\-1\\2\end{pmatrix}\right\}$

Ověřme: $\vec{v}_3 = 2\vec{v}_1 + \vec{v}_2$ a $\vec{v}_4 = 2\vec{v}_1 - \vec{v}_2$, takže $\vec{v}_3, \vec{v}_4$ jsou lineárně závislé na $\vec{v}_1, \vec{v}_2$.

Cvičení k procvičení

Cvičení 1: Určete dimenzi a najděte bázi prostoru $\mathbb{V}$ generovaného vektory:

$$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$$

$\dim(\mathbb{V}) = 2$, báze např. $B = \left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right\}$ nebo $B = \left\{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}$.

Cvičení 2: Rozhodněte, zda vektory $B = \left\{\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}$ tvoří bázi nějakého podprostoru. Pokud ano, určete souřadnice vektoru $\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$ vzhledem k $B$.

Ano, vektory jsou LNZ, tvoří bázi dvoudimenzionálního podprostoru. Řešením soustavy $\alpha_1 \vec{b}_1 + \alpha_2 \vec{b}_2 = \vec{x}$ je: nemá řešení -- $\vec{x}$ nepatří do tohoto podprostoru. Alternativně: $\langle \vec{x} \rangle_B$ neexistuje, protože $\vec{x} \notin [\vec{b}_1, \vec{b}_2]$.

Cvičení 3: Rozhodněte, zda vektory $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ tvoří bázi $\mathbb{R}^3$.

Ne, první dva vektory jsou stejné, takže jsou lineárně závislé. Netvoří bázi.

Cvičení 4: Určete souřadnice vektoru $\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\5\\7\end{pmatrix}$ vzhledem k bázi $B = \left[\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]$ (pokud existují).

$\langle \vec{x} \rangle_B = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$, neboť $1 \cdot (-1,1,1)^T + 2 \cdot (1,2,3)^T = (1,5,7)^T$.

Cvičení 5: Určete souřadnice vektoru $\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$ v bázi $B = \left[\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\right]$ a v bázi $C = \left[\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]$.

$\langle \vec{x} \rangle_B = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}$, $\langle \vec{x} \rangle_C = \begin{pmatrix}4\\-6\\3\end{pmatrix}$.

Cvičení 6: Sestavte matici přechodu $\mathbf{M}_{B \to C}$ od báze $B = \left[\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right]$ k bázi $C = \left[\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\right]$.

$\mathbf{M}_{B \to C} = \begin{pmatrix}1 & 2\\-1 & -1\end{pmatrix}$.

Cvičení 7: Určete dimenzi a bázi prostoru generovaného vektory:

$$\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\-1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}4\\1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix}$$

$\dim(\mathbb{V}) = 2$, báze např. $B = \left\{\begin{pmatrix}1\\0\\-1/2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\3/2\\0\end{pmatrix}\right\}$.

Shrnutí

Klíčové vzorce a pojmy

Generátory: množina vektorů, jejichž LK pokrývají celý prostor
Báze: lineárně nezávislá množina generátorů
Dimenze: $\dim(\mathbb{V})$ = počet prvků libovolné báze
Hledání báze: vektory jako řádky matice → GEM → nenulové řádky
Souřadnice: $\langle \vec{x} \rangle_B$ — koeficienty $\vec{x}$ v lineární kombinaci bázových vektorů
Matice přechodu: $\langle \vec{x} \rangle_C = \mathbf{M}_{B \to C} \cdot \langle \vec{x} \rangle_B$
Výpočet matice přechodu: $(C \mid B) \xrightarrow{\text{GEM}} (E \mid \mathbf{M}_{B \to C})$

Časté chyby

Záměna lineární nezávislosti a generování — báze musí splňovat obojí!
Zapomenutí, že řádkové úpravy mění konkrétní vektory, ale ne generovaný prostor
Záměna pořadí bází u matice přechodu — záleží, odkud kam přecházíme
Chybná identifikace bázových vektorů při výpočtu dimenze