Lineární zobrazení

Proč to potřebuji?

Lineární zobrazení jsou „funkce mezi vektorovými prostory", které zachovávají strukturu (sčítání a násobení). Popisují rotace, projekce, souměrnosti a mnoho dalších transformací. Každé lineární zobrazení mezi konečněrozměrnými prostory lze popsat maticí — a naopak. To je most mezi abstraktní algebrou a konkrétními výpočty.

Předpoklady: Vektorové prostory, báze a dimenze, maticové násobení, GEM.

Teorie

Definice lineárního zobrazení

Definice 6.1 — Lineární zobrazení

Nechť $U$ a $V$ jsou vektorové prostory nad tělesem $\mathbb{R}$. Zobrazení $f : U \to V$ se nazývá lineární zobrazení, jestliže platí:

  1. $f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$ pro libovolné $\vec{x}, \vec{y} \in U$ (obraz součtu = součet obrazů)
  2. $f(\alpha\vec{x}) = \alpha \, f(\vec{x})$ pro libovolné $\vec{x} \in U$ a $\alpha \in \mathbb{R}$ (obraz násobku = násobek obrazu)

Ekvivalentně: $f(\alpha\vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha f(\vec{x}) + \beta f(\vec{y})$ — lineární zobrazení zachovává lineární kombinace.

Poznámka — Důležité vlastnosti
  • Nulový vektor se zobrazí na nulový vektor: $f(\vec{o}_U) = \vec{o}_V$.
  • Opačný vektor se zobrazí na opačný: $f(-\vec{x}) = -f(\vec{x})$.
  • Přímka se zobrazí na přímku nebo bod.
Příklady lineárních zobrazení
  • Násobení maticí: $f(\vec{x}) = \mathbf{A}\vec{x}$ pro matici $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times m}$
  • Nulové zobrazení: $O(\vec{x}) = \vec{o}$
  • Identické zobrazení: $id(\vec{x}) = \vec{x}$
  • Derivace: $D(f(x)) = f'(x)$ je lineární zobrazení na prostoru funkcí

Matice lineárního zobrazení

Věta 6.1 — O určení lineárního zobrazení

Nechť $\{\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_n\}$ je báze prostoru $U$. Pak pro libovolnou množinu vektorů $\{\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n\} \subset V$ existuje právě jedno lineární zobrazení $f: U \to V$ takové, že $f(\vec{u}_i) = \vec{v}_i$ pro $i = 1, \ldots, n$.

Jinými slovy: známe-li obrazy báze, známe celé zobrazení.

Definice 6.2 — Matice lineárního zobrazení

Nechť $A = [\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_m]$ a $B = [\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n]$ jsou báze prostorů $U$ a $V$. Matice zobrazení $f$ vzhledem k bázím $A, B$ je matice typu $(n, m)$:

$$\langle f \rangle_{AB} = \mathbf{M} = \big(\langle f(\vec{u}_1) \rangle_B, \; \langle f(\vec{u}_2) \rangle_B, \; \ldots, \; \langle f(\vec{u}_m) \rangle_B\big)$$

Sloupce matice jsou obrazy bázových vektorů prostoru $U$ zapsané v bázi $B$ prostoru $V$.

Poznámka — Standardní báze

Jsou-li obě báze standardní, pak se předpis zjednoduší na $\vec{y} = f(\vec{x}) = \mathbf{M}\vec{x}$ a sloupce matice $\mathbf{M}$ jsou přímo obrazy vektorů standardní báze.

Jádro a obraz lineárního zobrazení

Definice 6.3 — Obraz zobrazení (range)

Obraz lineárního zobrazení $f: U \to V$ je množina všech obrazů:

$$Rf = \{\vec{y} \in V \mid \vec{y} = f(\vec{x}) \text{ pro nějaké } \vec{x} \in U\} \subset V$$

Obraz $Rf$ je podprostor $V$.

Definice 6.4 — Jádro zobrazení (kernel)

Jádro lineárního zobrazení $f: U \to V$ je množina vzorů nulového vektoru:

$$\text{Ker}\,f = \{\vec{x} \in U \mid f(\vec{x}) = \vec{o}_V\} \subset U$$

Jádro $\text{Ker}\,f$ je podprostor $U$.

Věta 6.2 — O hodnosti a defektu (Rank-Nullity)

Je-li $f: U \to V$ lineární zobrazení konečněrozměrného vektorového prostoru $U$ do $V$, pak:

$$\dim U = \dim \text{Ker}\,f + \dim Rf$$

kde $\dim \text{Ker}\,f$ se nazývá defekt a $\dim Rf$ se nazývá hodnost zobrazení.

Věta 6.3 — Prostost a jádro

Lineární zobrazení $f: U \to V$ je prosté (injektivní) právě tehdy, když $\text{Ker}\,f = \{\vec{o}_U\}$, tj. $\dim \text{Ker}\,f = 0$.

Geometrické transformace

Příklady geometrických lineárních zobrazení v $\mathbb{R}^2$
  • Rotace o úhel $\varphi$: $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}$
  • Projekce na osu $x$: $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$
  • Osová souměrnost podle osy $x$: $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$
Geometrické transformace v $\mathbb{R}^3$
  • Projekce na rovinu $xy$: $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$
  • Souměrnost podle roviny $xy$: $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$
  • Rotace kolem osy $z$ o úhel $\varphi$: $\mathbf{M} = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Složené a inverzní zobrazení

Věta 6.4 — Matice složeného zobrazení

Je-li $\mathbf{M}$ matice $f$ a $\mathbf{N}$ matice $g$, pak matice složeného zobrazení $g \circ f$ je součin $\mathbf{N} \cdot \mathbf{M}$ (pozor na pořadí!).

Věta 6.5 — Matice inverzního zobrazení

Je-li $f: V \to V$ vzájemně jednoznačné lineární zobrazení s maticí $\mathbf{M}$, pak matice inverzního zobrazení $f^{-1}$ je $\mathbf{M}^{-1}$.

Řešené příklady

Příklad 1 — Určení matice LZO z předpisu

Je dáno lineární zobrazení $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ předpisem:

$$f\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x_1 + 2x_2 \\ x_2 + x_3\end{pmatrix}$$

Určete matici zobrazení vzhledem ke standardním bázím.

Krok 1: Spočítáme obrazy standardní báze
$$f(\vec{e}_1) = f\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}, \quad f(\vec{e}_2) = f\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, \quad f(\vec{e}_3) = f\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$
Krok 2: Sestavíme matici

Sloupce matice jsou obrazy bázových vektorů:

$$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Ověření: $\mathbf{M}\vec{x} = \begin{pmatrix}-1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x_1+2x_2\\x_2+x_3\end{pmatrix}$ — souhlasí.

Příklad 2 — Obraz a vzor vektoru

Je dána matice a vektory:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7\end{pmatrix}, \quad \vec{u} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}6\\4\\-10\end{pmatrix}$$

Uvažujte lineární zobrazení $f(\vec{x}) = \mathbf{A}\vec{x}$. 1) Určete obraz $f(\vec{u})$. 2) Určete vzory $\vec{b}$.

Krok 1: Obraz vektoru $\vec{u}$
$$f(\vec{u}) = \mathbf{A}\vec{u} = \begin{pmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+3\\6-5\\-2-7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\\-9\end{pmatrix}$$
Krok 2: Vzor vektoru $\vec{b}$ — řešíme $\mathbf{A}\vec{x} = \vec{b}$
$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & 6 \\ 3 & 5 & 4 \\ -1 & 7 & -10 \end{array}\right) \xrightarrow{\substack{R_2 - 3R_1 \\ R_3 + R_1}} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & 6 \\ 0 & 14 & -14 \\ 0 & 4 & -4 \end{array}\right) \xrightarrow{\frac{1}{14}R_2} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & -4 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 - 4R_2} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Zpětná substituce: $x_2 = -1$, $x_1 = 6 + 3 \cdot (-1) = 3$.

Vzor: $\vec{x} = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$, $\vec{b}$ má právě jeden vzor.

Příklad 3 — Jádro lineárního zobrazení

Je dána matice zobrazení $\mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2\end{pmatrix}$. Určete $\text{Ker}(\mathcal{Z})$, jeho bázi a dimenzi.

Krok 1: Řešíme homogenní soustavu $\mathbf{M}\vec{x} = \vec{o}$
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$
Krok 2: Zpětná substituce

Volná proměnná: $x_3 = t \in \mathbb{R}$.

Z druhé rovnice: $-x_2 + t = 0 \Rightarrow x_2 = t$.

Z první rovnice: $-x_1 + 2t + 2t = 0 \Rightarrow x_1 = 4t$.

$$\vec{x} = t \begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Krok 3: Výsledek

$\text{Ker}(\mathcal{Z}) = \left\{t \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R}\right\}$, báze $\text{Ker}(\mathcal{Z}) = \left\{\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}\right\}$, $\dim\text{Ker}(\mathcal{Z}) = 1$.

Kontrola věty o hodnosti: $\dim U = 3 = 1 + \dim Rf = 1 + 2$. Hodnost matice je 2, tedy $\dim Rf = 2$.

Příklad 4 — Matice zobrazení z obrazů vektorů

Lineární zobrazení $\mathcal{Z}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ je určeno obrazy:

$$\mathcal{Z}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \quad \mathcal{Z}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}, \quad \mathcal{Z}\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

Určete matici $\mathbf{M}_{\mathcal{Z}}$ vzhledem ke standardním bázím.

Krok 1: Sestavíme rozšířenou matici

V horní části dáme vzory (jako sloupce) a v dolní odpovídající obrazy:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Transponujeme a řádkovými úpravami převedeme horní část na jednotkovou matici:

Krok 2: Řádkové úpravy na transponované matici
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{R_2 - R_1 \\ R_3 - 2R_1}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow{-R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{R_1 - R_3 \\ R_2 + R_3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Krok 3: Transponujeme zpět a čteme matici

Dolní část odpovídá obrazům vektorů standardní báze:

$$\mathcal{Z}(\vec{e}_1) = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}, \quad \mathcal{Z}(\vec{e}_2) = \begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}, \quad \mathcal{Z}(\vec{e}_3) = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$ $$\mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$
Příklad 5 — Matice rotace v rovině

Odvoďte matici rotace o úhel $\varphi = 90°$ v $\mathbb{R}^2$ a aplikujte ji na vektor $\vec{u} = (3, 1)^T$.

Krok 1: Matice rotace o $\varphi = 90°$

Dosadíme $\cos 90° = 0$ a $\sin 90° = 1$:

$$\mathbf{R} = \begin{pmatrix}\cos 90° & -\sin 90° \\ \sin 90° & \cos 90°\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$
Krok 2: Aplikace na vektor
$$\mathbf{R} \vec{u} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$$

Vektor $(3,1)^T$ se otočil o $90°$ proti směru hodinových ručiček na $(-1, 3)^T$.

Příklad 6 — Složené zobrazení

Nechť $\mathcal{Z}$ je rotace o $\varphi$ a $\mathcal{T}$ je souměrnost podle osy $x$ v $\mathbb{R}^2$. Určete matici složeného zobrazení $\mathcal{T} \circ \mathcal{Z}$ (nejprve rotace, pak souměrnost).

Krok 1: Matice jednotlivých zobrazení
$$\mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}, \quad \mathbf{M}_{\mathcal{T}} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$
Krok 2: Matice složeného zobrazení
$$\mathbf{M}_{\mathcal{T} \circ \mathcal{Z}} = \mathbf{M}_{\mathcal{T}} \cdot \mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ -\sin\varphi & -\cos\varphi\end{pmatrix}$$

Poznámka: $\mathbf{M}_{\mathcal{Z} \circ \mathcal{T}} = \mathbf{M}_{\mathcal{Z}} \cdot \mathbf{M}_{\mathcal{T}} = \begin{pmatrix}\cos\varphi & \sin\varphi \\ \sin\varphi & -\cos\varphi\end{pmatrix}$, což je jiná matice! Na pořadí skládání záleží.

Cvičení k procvičení

Cvičení 1: Určete matici lineárního zobrazení $\mathcal{Z}(\vec{x}) = \begin{pmatrix}x_2 + x_3 \\ 2x_1 + x_3 \\ 3x_1 - x_2 + x_3\end{pmatrix}$ a dimenze prostorů $\mathbb{V}$ (vzor) a $\mathbb{W}$ (obraz).

$\mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}0&1&1\\2&0&1\\3&-1&1\end{pmatrix}$, $\dim(\mathbb{V}) = 3$, $\dim(\mathbb{W}) = 3$.

Cvičení 2: Určete matici LZO $\mathcal{Z}: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2$ daného předpisem $\mathcal{Z}(\vec{x}) = \begin{pmatrix}x_1 - x_2 + x_3 + x_4 \\ x_1 - x_2 + 2x_4\end{pmatrix}$.

$\mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}1&-1&1&1\\1&-1&0&2\end{pmatrix}$, $\dim(\mathbb{V}) = 4$, $\dim(\mathbb{W}) = 2$.

Cvičení 3: Určete jádro zobrazení $\text{Ker}(\mathcal{Z})$, jeho bázi a dimenzi pro $\mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&-2\\0&1&2\end{pmatrix}$.

$\text{Ker}(\mathcal{Z}) = \{\vec{o}\}$, $\dim(\text{Ker}(\mathcal{Z})) = 0$. Zobrazení je prosté.

Cvičení 4: Určete jádro zobrazení s maticí $\mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&-2\\0&1&2\end{pmatrix}$. Je zobrazení prosté? Pokud ano, určete matici inverzního zobrazení.

$\text{Ker}(\mathcal{Z}) = \{\vec{o}\}$, zobrazení je prosté. $\mathbf{M}_{\mathcal{Z}}^{-1} = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$.

Cvičení 5: Určete matici složených zobrazení $\mathcal{Z} \circ \mathcal{T}$ a $\mathcal{T} \circ \mathcal{Z}$ pro:

$$\mathbf{M}_{\mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}0&1\\1&2\\2&0\end{pmatrix}, \quad \mathbf{M}_{\mathcal{T}} = \begin{pmatrix}0&1&-1\\1&-1&0\end{pmatrix}$$

$\mathbf{M}_{\mathcal{Z} \circ \mathcal{T}} = \begin{pmatrix}1&-1&0\\2&-1&-1\\0&2&-2\end{pmatrix}$, $\mathbf{M}_{\mathcal{T} \circ \mathcal{Z}} = \begin{pmatrix}-1&2\\-1&-1\end{pmatrix}$.

Cvičení 6: Ověřte, že rotace $\mathbf{R}$ o úhel $\alpha$ a inverzní rotace $\mathbf{R}^{-1}$ splňují $\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}^{-1} = \mathbf{E}$. Využijte vztah $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

$\mathbf{R}^{-1} = \begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$ (rotace o $-\alpha$). Součin dá $\mathbf{E}$ díky goniometrickým identitám.

Shrnutí

Klíčové vzorce a pojmy

  • Linearita: $f(\alpha\vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha f(\vec{x}) + \beta f(\vec{y})$
  • Matice zobrazení: sloupce = obrazy bázových vektorů
  • Jádro: $\text{Ker}\,f = \{\vec{x} \mid f(\vec{x}) = \vec{o}\}$
  • Obraz: $Rf = \{f(\vec{x}) \mid \vec{x} \in U\}$
  • Rank-Nullity: $\dim U = \dim \text{Ker}\,f + \dim Rf$
  • Prostost: $f$ prosté $\Leftrightarrow$ $\text{Ker}\,f = \{\vec{o}\}$
  • Rotace: $\mathbf{R}(\varphi) = \begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}$
  • Složené zobrazení: $\mathbf{M}_{g \circ f} = \mathbf{M}_g \cdot \mathbf{M}_f$
Časté chyby
  • Záměna pořadí matic u složeného zobrazení — $g \circ f$ odpovídá $\mathbf{N}\mathbf{M}$, ne $\mathbf{M}\mathbf{N}$!
  • Zapomenutí ověřit obě vlastnosti linearity (aditivita i homogenita)
  • Záměna jádra a obrazu — jádro je v prostoru vzorů, obraz v prostoru obrazů
  • Chybné odvození matice, když zadané vektory nejsou standardní báze