Skalární součin a ortogonalita

Proč to potřebuji?

Skalární součin vnáší do vektorového prostoru pojem „délky" a „úhlu". Díky němu můžeme měřit vzdálenosti, počítat úhly mezi vektory, definovat kolmost a konstruovat ortogonální projekce. To jsou základní nástroje geometrie, fyziky i statistiky.

Předpoklady: Vektorové prostory, báze a dimenze, řešení soustav rovnic.

Teorie

Skalární součin

Definice 7.1 — Skalární součin v $\mathbb{R}^n$

Skalární součin vektorů $\vec{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)^T$ a $\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)^T$ v $\mathbb{R}^n$ je číslo:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u}^T \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i$$

Norma a vzdálenost

Definice 7.2 — Norma (délka) vektoru

Norma vektoru $\vec{u}$ je nezáporné číslo:

$$\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2}$$
Definice 7.3 — Vzdálenost vektorů

Vzdálenost vektorů $\vec{u}$ a $\vec{v}$ je:

$$d(\vec{u}, \vec{v}) = \|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + \cdots + (u_n - v_n)^2}$$

Úhel a Cauchy-Schwarzova nerovnost

Věta 7.1 — Cauchy-Schwarzova nerovnost

Pro libovolné vektory $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n$ platí:

$$|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|$$

Rovnost nastává, právě když $\vec{u} = \alpha \vec{v}$ pro nějaké $\alpha \in \mathbb{R}$ (vektory jsou rovnoběžné).

Definice 7.4 — Úhel mezi vektory

Úhel $\varphi \in [0, \pi]$ mezi nenulovými vektory $\vec{u}$ a $\vec{v}$ je definován vztahem:

$$\cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}$$

Ortogonalita

Definice 7.5 — Kolmé (ortogonální) vektory

Vektory $\vec{u}$ a $\vec{v}$ nazýváme kolmé (ortogonální), jestliže:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$

Píšeme $\vec{u} \perp \vec{v}$.

Věta 7.2 — Pythagorova věta pro vektory

Jsou-li vektory $\vec{u}$ a $\vec{v}$ ortogonální ($\vec{u} \perp \vec{v}$), pak:

$$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$$

Ortogonální doplněk

Definice 7.6 — Ortogonální doplněk

Nechť $\mathbb{V}$ je podprostor prostoru $\mathbb{U}$. Ortogonální doplněk $\mathbb{V}$ v $\mathbb{U}$ je množina:

$$\mathbb{V}^{\perp} = \{\vec{x} \in \mathbb{U} \mid \vec{x} \cdot \vec{v} = 0 \text{ pro všechna } \vec{v} \in \mathbb{V}\}$$

$\mathbb{V}^{\perp}$ je podprostor $\mathbb{U}$ a platí $\dim(\mathbb{U}) = \dim(\mathbb{V}) + \dim(\mathbb{V}^{\perp})$.

Ortogonální projekce

Definice 7.7 — Ortogonální projekce na přímku

Ortogonální projekce vektoru $\vec{p}$ na přímku se směrovým vektorem $\vec{u}$ (procházející počátkem) je vektor:

$$\vec{p}_{\perp} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \, \vec{u}$$

Vzdálenost vektoru $\vec{p}$ od přímky je $d = \|\vec{p} - \vec{p}_{\perp}\|$.

Řešené příklady

Příklad 1 — Skalární součin, norma, vzdálenost a úhel

V $\mathbb{R}^3$ jsou dány vektory $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}3\\-1\\-5\end{pmatrix}$ a $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}6\\-2\\3\end{pmatrix}$. Určete skalární součin, normy, vzdálenost a úhel.

Krok 1: Skalární součin
$$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 3 \cdot 6 + (-1) \cdot (-2) + (-5) \cdot 3 = 18 + 2 - 15 = 5$$
Krok 2: Normy
$$\|\vec{v}_1\| = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$$ $$\|\vec{v}_2\| = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$$
Krok 3: Vzdálenost
$$\vec{v}_1 - \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}-3\\1\\-8\end{pmatrix}, \quad d(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = \sqrt{9 + 1 + 64} = \sqrt{74}$$
Krok 4: Úhel
$$\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{35} \cdot 7} = \frac{5}{7\sqrt{35}} \doteq 0{,}1207$$ $$\varphi = \arccos(0{,}1207) \doteq 1{,}4498 \; \text{rad} \doteq 83°$$
Příklad 2 — Skalární součin v $\mathbb{R}^2$

Jsou dány vektory $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ a $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$. Určete skalární součin, normy, vzdálenost a úhel.

Krok 1: Skalární součin
$$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 6 = -4 + 12 = 8$$
Krok 2: Normy
$$\|\vec{v}_1\| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}, \quad \|\vec{v}_2\| = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$
Krok 3: Vzdálenost
$$d(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = \left\|\begin{pmatrix}-5\\-4\end{pmatrix}\right\| = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$$
Krok 4: Úhel
$$\cos\varphi = \frac{8}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{8}{2\sqrt{65}} \doteq 0{,}4961, \quad \varphi \doteq 1{,}0517 \; \text{rad} \doteq 60°$$
Příklad 3 — Ortogonální doplněk

Mějme $\mathbb{U} = \mathbb{R}^3$ a podprostor $\mathbb{V}$ generovaný vektory $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ a $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$. Určete ortogonální doplněk $\mathbb{V}^{\perp}$, jeho dimenzi a bázi.

Krok 1: Ověříme LNZ vektorů $\vec{v}_1, \vec{v}_2$
$$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1} \begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}$$

Vektory jsou LNZ, tedy $\dim(\mathbb{V}) = 2$ a $\dim(\mathbb{V}^{\perp}) = 3 - 2 = 1$.

Krok 2: Hledáme vektor $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)^T$ kolmý na oba
$$\vec{u} \cdot \vec{v}_1 = 0: \quad u_1 + u_2 + u_3 = 0$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v}_2 = 0: \quad u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0$$
Krok 3: Řešíme soustavu
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\1&2&3&0\end{array}\right) \xrightarrow{R_2 - R_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&1&2&0\end{array}\right)$$

Volná proměnná $u_3 = t$: $u_2 = -2t$, $u_1 = -u_2 - u_3 = 2t - t = t$.

$$\vec{u} = t\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Krok 4: Výsledek
$$\mathbb{V}^{\perp} = \left\{t \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R}\right\}, \quad B_{\mathbb{V}^{\perp}} = \left\{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\right\}, \quad \dim(\mathbb{V}^{\perp}) = 1$$
Příklad 4 — Ortogonální doplněk v $\mathbb{R}^3$ s $\dim = 2$

Mějme $\mathbb{U} = \mathbb{R}^3$ a podprostor $\mathbb{V}$ generovaný vektorem $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$. Určete $\mathbb{V}^{\perp}$.

Krok 1: Podmínka kolmosti

Hledáme $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)^T$ takový, že $\vec{u} \cdot \vec{v}_1 = 0$:

$$-u_1 + u_2 + u_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad u_1 = u_2 + u_3$$
Krok 2: Volné proměnné

$u_2 = s, u_3 = t$ jsou volné proměnné:

$$\vec{u} = s\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}$$
Krok 3: Výsledek
$$B_{\mathbb{V}^{\perp}} = \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}, \quad \dim(\mathbb{V}^{\perp}) = 2$$

Kontrola: $\dim(\mathbb{V}) + \dim(\mathbb{V}^{\perp}) = 1 + 2 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$.

Příklad 5 — Ortogonální projekce na přímku

V $\mathbb{R}^2$ určete ortogonální průmět vektoru $\vec{p} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ na přímku se směrovým vektorem $\vec{u} = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$ a vzdálenost $\vec{p}$ od přímky.

Krok 1: Spočítáme koeficient $\alpha$
$$\alpha = \frac{\vec{p} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \frac{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}} = \frac{-1-3}{1+9} = \frac{-4}{10} = -0{,}4$$
Krok 2: Průmět
$$\vec{p}_{\perp} = \alpha \vec{u} = -0{,}4 \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}4\\-1{,}2\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}$$
Krok 3: Vzdálenost
$$\vec{p} - \vec{p}_{\perp} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\frac{2}{5}\\-\frac{6}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$$ $$d = \|\vec{p} - \vec{p}_{\perp}\| = \frac{1}{5}\sqrt{9 + 1} = \frac{\sqrt{10}}{5}$$
Příklad 6 — Ortogonální projekce v $\mathbb{R}^2$ (druhý příklad)

Určete ortogonální průmět vektoru $\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ na přímku se směrovým vektorem $\vec{u} = \begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}$ a vzdálenost $\vec{p}$ od přímky.

Krok 1: Koeficient
$$\alpha = \frac{\vec{p} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \frac{8 - 21}{16 + 49} = \frac{-13}{65} = -\frac{1}{5}$$
Krok 2: Průmět
$$\vec{p}_{\perp} = -\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4\\7\end{pmatrix}$$
Krok 3: Vzdálenost
$$\vec{p} - \vec{p}_{\perp} = \begin{pmatrix}2 + \frac{4}{5}\\ 3 - \frac{7}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{14}{5}\\\frac{8}{5}\end{pmatrix} = \frac{2}{5}\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$$ $$d = \frac{2}{5}\sqrt{49+16} = \frac{2}{5}\sqrt{65}$$

Cvičení k procvičení

Cvičení 1: Určete skalární součin, normy, vzdálenost a úhel vektorů $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}2\\-5\\-1\end{pmatrix}$ a $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}3\\2\\-3\end{pmatrix}$.

$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = -1$, $\|\vec{v}_1\| = \sqrt{30}$, $\|\vec{v}_2\| = \sqrt{22}$, $d = \sqrt{6}$ (pozn.: $d = 3\sqrt{6}$ po korekci: $(2-3)^2+(-5-2)^2+(-1+3)^2=1+49+4=54$, $d=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$), $\varphi \doteq 1{,}6097 \; \text{rad}$.

Cvičení 2: Jsou dány vektory $\vec{u} = (1, 2, -1)^T$ a $\vec{v} = (2, -1, 0)^T$. Jsou ortogonální?

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 2 + 0 = 0$. Ano, vektory jsou ortogonální.

Cvičení 3: Určete ortogonální doplněk $\mathbb{V}^{\perp}$ podprostoru $\mathbb{V}$ generovaného vektorem $\vec{v} = (1, -1, 2)^T$ v $\mathbb{R}^3$.

$\mathbb{V}^{\perp}$ je rovina $u_1 - u_2 + 2u_3 = 0$. Báze např. $\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$, $\dim(\mathbb{V}^{\perp}) = 2$.

Cvičení 4: Mějme podprostor $\mathbb{V} \subset \mathbb{R}^3$ generovaný vektory $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ a $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$. Určete $\mathbb{V}^{\perp}$.

$\mathbb{V}^{\perp} = \left\{t\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R}\right\}$, $\dim(\mathbb{V}^{\perp}) = 1$.

Cvičení 5: Určete ortogonální průmět vektoru $\vec{p} = (3, 4)^T$ na přímku se směrem $\vec{u} = (1, 1)^T$ a vzdálenost $\vec{p}$ od přímky.

$\alpha = \frac{7}{2}$, $\vec{p}_{\perp} = \frac{7}{2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}$. $d = \left\|\begin{pmatrix}-0{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\right\| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Cvičení 6: Ověřte Pythagorovu větu pro vektory $\vec{u} = (1, 2)^T$ a $\vec{v} = (4, -2)^T$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 - 4 = 0$ (ortogonální). $\|\vec{u}\|^2 = 5$, $\|\vec{v}\|^2 = 20$. $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|(5, 0)\|^2 = 25 = 5 + 20$. Platí.

Shrnutí

Klíčové vzorce a pojmy

  • Skalární součin: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i$
  • Norma: $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$
  • Vzdálenost: $d(\vec{u}, \vec{v}) = \|\vec{u} - \vec{v}\|$
  • Cauchy-Schwarz: $|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|$
  • Úhel: $\cos\varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}$
  • Ortogonalita: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
  • Ortogonální doplněk: $\dim(\mathbb{V}) + \dim(\mathbb{V}^{\perp}) = \dim(\mathbb{U})$
  • Projekce: $\vec{p}_{\perp} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \vec{u}$
Časté chyby
  • Zapomenutí na odmocninu u normy — norma je odmocnina ze skalárního součinu, ne součin samotný
  • Záměna skalárního součinu s maticovým součinem — skalární součin vrací číslo!
  • Chybné znaménko u projekce — pozor na správné dosazení do vzorce
  • U ortogonálního doplňku zapomenutí, že vektor musí být kolmý na všechny vektory podprostoru