Funkce více proměnných (Bonus)

Proč to potřebuji?

V reálném světě závisí většina veličin na více faktorech — teplota závisí na poloze i čase, výrobní náklady na množství práce i kapitálu. Funkce více proměnných rozšiřují pojmy z diferenciálního počtu jedné proměnné do vyšších dimenzí. Zde se seznámíme se základními pojmy: definiční obor, okolí bodů, vlastnosti množin a vizualizace pomocí grafů a vrstevnic.

Předpoklady: Funkce jedné proměnné, euklidovský prostor, skalární součin a norma.

Teorie

Euklidovský prostor $\mathbb{R}^n$

Definice 8.1 — Euklidovský prostor

Konečně dimenzionální reálný vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá euklidovský prostor. Množina uspořádaných $n$-tic $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ je euklidovský prostor, který budeme značit $\mathbb{R}^n$. Prvky $x \in \mathbb{R}^n$ nazýváme body.

Definice 8.2 — Vzdálenost v $\mathbb{R}^n$

Pro každé dva body $a, b \in \mathbb{R}^n$ definujeme euklidovskou vzdálenost:

$$d(a, b) = \|a - b\| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2}$$

Okolí bodu

Definice 8.3 — Otevřená koule (úplné okolí)

Množina

$$B(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x - a\| < r\}$$

se nazývá otevřená koule (kruhové úplné okolí) bodu $a \in \mathbb{R}^n$ s poloměrem $r > 0$.

  • V $\mathbb{R}^1$: otevřený interval $(a-r, a+r)$
  • V $\mathbb{R}^2$: kruh se středem $a$ a poloměrem $r$
  • V $\mathbb{R}^3$: koule se středem $a$ a poloměrem $r$
Definice 8.4 — Uzavřená koule
$$\overline{B}(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x - a\| \leq r\}$$

Vlastnosti množin v $\mathbb{R}^n$

Definice 8.5 — Vnitřní a hraniční bod
  • Bod $a \in M$ je vnitřní bod množiny $M \subset \mathbb{R}^n$, jestliže existuje $\varepsilon > 0$ takové, že $B(a, \varepsilon) \subset M$.
  • Bod $b \in \mathbb{R}^n$ je hraniční bod množiny $M$, jestliže každé jeho okolí $B(b, \varepsilon)$ obsahuje jak body z $M$, tak body mimo $M$.

Množinu všech vnitřních bodů značíme $M°$ (vnitřek), množinu hraničních bodů $\partial M$ (hranice).

Definice 8.6 — Otevřená, uzavřená, kompaktní, konvexní množina
  • $M$ je otevřená, jestliže $M = M°$ (každý bod je vnitřní).
  • $M$ je uzavřená, jestliže $M = \overline{M} = M° \cup \partial M$ (obsahuje svou hranici).
  • $M$ je omezená, jestliže existuje $r > 0$ takové, že $M \subset B(0, r)$.
  • $M$ je kompaktní, je-li omezená a uzavřená.
  • $M$ je souvislá, jestliže každé dva body $x_1, x_2 \in M$ lze spojit křivkou ležící v $M$.
  • $M$ je konvexní, jestliže s každými dvěma body obsahuje i úsečku mezi nimi.
  • Otevřená souvislá množina se nazývá oblast.

Funkce více reálných proměnných

Definice 8.7 — Reálná funkce $n$ proměnných

Nechť $M \subseteq \mathbb{R}^n$, $n \geq 1$, $M \neq \emptyset$. Zobrazení $f: M \to \mathbb{R}$ se nazývá reálná funkce $n$ reálných proměnných. Množina $M$ je definiční obor funkce $f$, značíme $D(f)$.

  • Pro $n = 2$: $z = f(x, y)$, kde $(x, y) \in D(f) \subseteq \mathbb{R}^2$
  • Pro $n = 3$: $u = f(x, y, z)$

Graf a vrstevnice

Definice 8.8 — Graf funkce

Je-li $f: M \to \mathbb{R}$ funkce, pak množina

$$G = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x \in M, \; y = f(x)\}$$

se nazývá graf funkce $f$. Graf funkce dvou proměnných je plocha v $\mathbb{R}^3$.

Definice 8.9 — Hladina (vrstevnice)

Nechť $c \in \mathbb{R}$ je konstanta z oboru hodnot $H(f)$. Množina

$$f_c = \{x \in \mathbb{R}^n \mid f(x) = c\}$$

se nazývá hladina (vrstevnice) funkce na úrovni $c$.

Pro funkce dvou proměnných jsou vrstevnice křivky v rovině $xy$.

Řešené příklady

Příklad 1 — Definiční obor funkce dvou proměnných

Určete definiční obor funkce $f: z = \frac{1}{\sqrt{x - y}}$.

Krok 1: Podmínky existence

Odmocnina ve jmenovateli musí být definována a nenulová:

$$x - y > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x > y$$
Krok 2: Definiční obor
$$D(f) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x - y > 0\} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > y\}$$

Geometricky: polorovina nad přímkou $y = x$ (hraniční přímka $x = y$ nepatří do $D(f)$).

Množina je otevřená (neobsahuje hranici), neomezená, souvislá, je to oblast.

Příklad 2 — Definiční obor s více podmínkami

Určete definiční obor funkce $f: z = \sqrt{9 - x^2 - y^2} + \ln(x^2 + y^2 - 4)$.

Krok 1: Podmínky

Aby oba sčítance byly definovány, musí současně platit:

$$9 - x^2 - y^2 \geq 0 \quad \text{a} \quad x^2 + y^2 - 4 > 0$$

Tedy: $x^2 + y^2 \leq 9$ (uzavřený kruh o poloměru 3) a $x^2 + y^2 > 4$ (mimo uzavřený kruh o poloměru 2).

Krok 2: Definiční obor
$$D(f) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 4 < x^2 + y^2 \leq 9\}$$

Geometricky: mezikruží se středem v počátku, vnitřní kružnice ($r = 2$) nepatří do $D(f)$, vnější ($r = 3$) ano.

Množina není otevřená (vnější kružnice patří) ani uzavřená (vnitřní nepatří). Je omezená a souvislá.

Příklad 3 — Graf a vrstevnice paraboloidu

Popište graf a vrstevnice funkce $f: z = x^2 + y^2$.

Krok 1: Řezy rovinami

Řez rovinou $y = 0$: $z = x^2$ (parabola v rovině $xz$).

Řez rovinou $x = 0$: $z = y^2$ (parabola v rovině $yz$).

Obecně řez libovolnou rovinou procházející osou $z$ dá parabolu.

Krok 2: Vrstevnice

Pro hladinu $c \geq 0$: $x^2 + y^2 = c$.

  • $c = 0$: bod $(0, 0)$
  • $c = 1$: kružnice o poloměru $1$
  • $c = 4$: kružnice o poloměru $2$
  • $c < 0$: prázdná množina

Vrstevnice jsou soustředné kružnice se středem v počátku.

Krok 3: Graf

Graf je rotační paraboloid s vrcholem v počátku, otevřený směrem nahoru.

Příklad 4 — Hyperbolický paraboloid (sedlo)

Popište graf a vrstevnice funkce $f: z = x^2 - y^2$.

Krok 1: Vrstevnice

Pro hladinu $c \in \mathbb{R}$: $x^2 - y^2 = c$.

  • $c = 0$: $x^2 = y^2$, tj. $y = x$ a $y = -x$ (osy kvadrantů)
  • $c = 1$: rovnoosá hyperbola $x^2 - y^2 = 1$ (osa $x$)
  • $c = -1$: rovnoosá hyperbola $y^2 - x^2 = 1$ (osa $y$)
  • $c = 4$: hyperbola $x^2 - y^2 = 4$

Vrstevnice jsou soustava hyperbol.

Krok 2: Graf

Graf je hyperbolický paraboloid (sedlová plocha, „sedlo").

Řez $y = 0$: parabola $z = x^2$ (otevřená nahoru). Řez $x = 0$: parabola $z = -y^2$ (otevřená dolů). Bod $(0,0,0)$ je sedlový bod.

Příklad 5 — Vlastnosti množiny

Uvažujme množinu $M = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > x^2\}$. Rozhodněte, zda je $M$ otevřená, uzavřená, omezená, souvislá, konvexní.

Krok 1: Geometrická interpretace

Množina $M$ je oblast nad parabolou $y = x^2$ (bez samotné paraboly).

Krok 2: Vlastnosti
  • Otevřená: Ano — pro každý bod $(a, b)$ s $b > a^2$ existuje dostatečně malý kruh, který leží celý v $M$.
  • Uzavřená: Ne — parabola $y = x^2$ je hranice a nepatří do $M$.
  • Omezená: Ne — obsahuje body s libovolně velkými souřadnicemi.
  • Kompaktní: Ne (není omezená a není uzavřená).
  • Souvislá: Ano — každé dva body nad parabolou lze spojit křivkou.
  • Konvexní: Ne — například body $(-1, 2)$ a $(1, 2)$ leží v $M$, ale střed úsečky $(0, 2)$ také leží v $M$. Ověříme pečlivěji: body $(-2, 5)$ a $(2, 5)$ leží v $M$, bod $(0, 5)$ na úsečce také. Ve skutečnosti tato množina je konvexní, protože parabola je konvexní funkce a nadgraf konvexní funkce je konvexní množina.

Množina je otevřená, neuzavřená, neomezená, souvislá, konvexní — je to oblast.

Příklad 6 — Cobb-Douglasova produkční funkce

Cobb-Douglasova funkce je definována jako $Y = F(K, L) = A K^{\alpha} L^{1-\alpha}$, kde $K \geq 0$ je kapitál, $L \geq 0$ je práce, $A > 0$ a $\alpha \in (0, 1)$. Pro $A = 1$ a $\alpha = 0{,}5$ popište vrstevnice (izokvanty) a definiční obor.

Krok 1: Dosadíme hodnoty
$$Y = K^{0{,}5} L^{0{,}5} = \sqrt{KL}$$

Definiční obor: $D(F) = \{(K, L) \in \mathbb{R}^2 \mid K \geq 0, L \geq 0\}$ (první kvadrant včetně os).

Krok 2: Vrstevnice (izokvanty)

Pro hladinu $Y = c > 0$:

$$\sqrt{KL} = c \quad \Rightarrow \quad KL = c^2 \quad \Rightarrow \quad L = \frac{c^2}{K}$$

Vrstevnice jsou rovnoosé hyperboly v prvním kvadrantu:

  • $c = 1$: $KL = 1$, tj. $L = 1/K$
  • $c = 2$: $KL = 4$, tj. $L = 4/K$
  • $c = 0$: osy $K = 0$ nebo $L = 0$
Krok 3: Interpretace

Izokvanty ukazují kombinace kapitálu a práce, které vedou ke stejnému výstupu. S rostoucím $c$ se hyperboly vzdalují od počátku — vyšší výstup vyžaduje více vstupů.

Cvičení k procvičení

Cvičení 1: Určete definiční obor funkce $f: z = \ln(x + y)$.

$D(f) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0\}$ — polorovina nad přímkou $x + y = 0$. Otevřená oblast.

Cvičení 2: Určete definiční obor funkce $f: z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$.

$D(f) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 4\}$ — uzavřený kruh o poloměru 2. Kompaktní, konvexní, souvislá množina.

Cvičení 3: Popište vrstevnice funkce $f: z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$. Jaký je graf této funkce?

Vrstevnice: $\sqrt{9 - x^2 - y^2} = c$, tj. $x^2 + y^2 = 9 - c^2$ pro $c \in [0, 3]$. Soustředné kružnice s poloměrem $\sqrt{9 - c^2}$. Graf je horní polokoule o poloměru 3 ($x^2 + y^2 + z^2 = 9, z \geq 0$).

Cvičení 4: Rozhodněte, zda je množina $M = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1\}$ otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní, souvislá, konvexní.

Otevřená (ano), uzavřená (ne), omezená (ano), kompaktní (ne — není uzavřená), souvislá (ano), konvexní (ano). Je to oblast.

Cvičení 5: Jsou dány funkce $f(x,y) = 2xy$ a $g(x,y) = x^2 + y^2$. Určete $(f+g)(x,y)$, $(f \cdot g)(x,y)$ a $(f/g)(x,y)$.

$(f+g)(x,y) = 2xy + x^2 + y^2 = (x+y)^2$. $(fg)(x,y) = 2xy(x^2 + y^2)$. $(f/g)(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}$ pro $(x,y) \neq (0,0)$.

Shrnutí

Klíčové vzorce a pojmy

  • Euklidovská vzdálenost: $d(a,b) = \sqrt{\sum(a_i - b_i)^2}$
  • Otevřená koule: $B(a,r) = \{x \mid \|x - a\| < r\}$
  • Otevřená množina: $M = M°$ (každý bod je vnitřní)
  • Uzavřená množina: $M = \overline{M}$ (obsahuje hranici)
  • Kompaktní: omezená + uzavřená
  • Konvexní: úsečka mezi libovolnými dvěma body leží v $M$
  • Oblast: otevřená a souvislá množina
  • Vrstevnice: $f_c = \{x \mid f(x) = c\}$
  • Cobb-Douglas: $Y = AK^{\alpha}L^{1-\alpha}$
Časté chyby
  • Záměna otevřené a uzavřené množiny — otevřená neobsahuje hranici, uzavřená ano
  • Zapomenutí, že definiční obor musí splňovat všechny podmínky současně
  • Záměna grafu funkce s definičním oborem — graf je v $\mathbb{R}^{n+1}$, definiční obor v $\mathbb{R}^n$
  • Vrstevnice $c < 0$ u nezáporné funkce — taková hladina neexistuje